Cho ma trận vuông cấp n:

A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ⋯ a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ⋯ a 3 , n ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 a n , 3 ⋯ a n , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}}

Định nghĩa định thức

Định nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị.

Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n ta có:(Công thức Leibniz)[1]

det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}

Định thức của một ma trận vuông còn được viết như sau

d e t A = | a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ⋯ a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ⋯ a 3 , n ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 a n , 3 ⋯ a n , n | {\displaystyle detA={\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}

Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:

det [ a ] = a {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a} det [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 12 a 21 {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} det [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}}